RSA算法原理(一)之数论知识

本文转载于阮一峰老师的RSA算法原理（一）

正文开始！

如果你问我，哪一种算法最重要？

我可能会回答“公钥加密算法”。

因为它是计算机通信安全的基石，保证了加密数据不会被破解。你可以想象一下，信用卡交易被破解的后果。

进入正题之前，我先简单介绍一下，什么是”公钥加密算法”。

一点历史

1976年以前，所有的加密方法都是同一种模式：

甲方选择某一种加密规则，对信息进行加密；

乙方使用同一种规则，对信息进行解密。

由于加密和解密使用同样规则（简称”密钥”），这被称为“对称加密算法”（Symmetric-key algorithm）。

这种加密模式有一个最大弱点：甲方必须把加密规则告诉乙方，否则无法解密。保存和传递密钥，就成了最头疼的问题。

1976年，两位美国计算机学家Whitfield Diffie 和 Martin Hellman，提出了一种崭新构思，可以在不直接传递密钥的情况下，完成解密。这被称为“Diffie-Hellman密钥交换算法”。这个算法启发了其他科学家。人们认识到，加密和解密可以使用不同的规则，只要这两种规则之间存在某种对应关系即可，这样就避免了直接传递密钥。

这种新的加密模式被称为”非对称加密算法”。

乙方生成两把密钥（公钥和私钥）。公钥是公开的，任何人都可以获得，私钥则是保密的。

甲方获取乙方的公钥，然后用它对信息加密。

乙方得到加密后的信息，用私钥解密。

如果公钥加密的信息只有私钥解得开，那么只要私钥不泄漏，通信就是安全的。

1977年，三位数学家Rivest、Shamir 和 Adleman 设计了一种算法，可以实现非对称加密。这种算法用他们三个人的名字命名，叫做RSA算法。从那时直到现在，RSA算法一直是最广为使用的”非对称加密算法”。毫不夸张地说，只要有计算机网络的地方，就有RSA算法。

这种算法非常可靠，密钥越长，它就越难破解。根据已经披露的文献，目前被破解的最长RSA密钥是768个二进制位。也就是说，长度超过768位的密钥，还无法破解（至少没人公开宣布）。因此可以认为，1024位的RSA密钥基本安全，2048位的密钥极其安全。

下面，我就进入正题，解释RSA算法的原理。文章共分成两部分，今天是第一部分，介绍要用到的四个数学概念。你可以看到，RSA算法并不难，只需要一点数论知识就可以理解。

互质关系

如果两个正整数，除了1以外，没有其他公因子，我们就称这两个数是互质关系（coprime）。比如，15和32没有公因子，所以它们是互质关系。这说明，不是质数也可以构成互质关系。

质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。

关于互质关系，不难得到以下结论：

任意两个质数构成互质关系，比如13和61
一个数是质数，另一个数只要不是前者的倍数，两者就构成互质关系，比如3和10
如果两个数之中，较大的数是质数，则两者构成互质关系，比如97和57
1和任意一个自然数都是互质关系，比如1和99
p是大于1的整数，则p和p-1构成互质关系，比如57和56
p是大于1个奇数，则p和p-2构成互质关系，比如17和15

欧拉函数

请思考以下问题：

任意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？（比如，在1到8之中，有多少个数与8构成互质关系？）

计算这个值的方法就叫做欧拉函数，以$\phi(n)$表示。在1到8之中，与8形成互质关系的是1、3、5、7，所以$\phi(n) = 4$。

$\phi(n)$的计算方法并不复杂，但是为了得到最后那个公式，需要一步步讨论。

第一种情况

如果$n = 1$，则$\phi(n) = 1$ 。因为1与任何数（包括自身）都构成互质关系。
第二种情况

如果$n$是质数，则 $\phi(n) = n -1$ 。因为质数与小于它的每一个数，都构成互质关系。比如5与1、2、3、4都构成互质关系。
第三中情况

如果$n$是质数的某一个次方，即 $n = p^k$ (p为质数，k为大于等于1的整数)，则
$\phi(p^k) = p^k - p^{k-1}$
比如$\phi(8) = \phi(2^3) = 2^3 - 2^2 = 4$ 。

这是因为只有当一个数不包含质数p，才可能与n互质。而包含质数p的数一共有$p^{k-1}$个，即$1*p、2*p、3*p、…、p^{k-1}*p$，把它们去除，剩下的就是与n互质的数。

上面的式子还可以写成下面的形式：
$\phi(p^k)=p^k-p^{k-1}=p^k(1-\frac{1}{p})$
可以看出，上面的第二种情况是 k=1 时的特例。
第四种情况

如果n可以分解成两个互质的整数之积，
$n = p_1 * p_2$
则
$\phi(n)=\phi(p_1*p_2)=\phi(p_1)\phi(p_2)$
即积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。比如，$\phi(56)=\phi(8*7)=\phi(8)*\phi(7)=4*6=24$。

这一条的证明要用到“中国剩余定理”，这里就不展开了，只简单说一下思路：如果a与$p_1$互质(a<$p_1$)，b与$p_2$互质(b<$p_2$)，c与$p_1p_2$互质(c<$p_1p_2$)，则c与数对 (a,b) 是一一对应关系。由于a的值有$\phi(p_1)$种可能，b的值有$\phi(p_2)$种可能，则数对 (a,b) 有$\phi(p_1)\phi(p_2)$种可能，而c的值有$\phi(p_1p_2)$种可能，所以$\phi(p_1p_2)$就等于$\phi(p_1)\phi(p_2)$。
第五种情况

因为任意一个大于1的正整数，都可以写成一系列质数的积。
$n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}...p_r^{k_r}$
根据第4条的结论，得到
$\phi(n)=\phi(p_1^{k_1})\phi(p_2^{k_2})...\phi(p_r^{k_r})$
再根据第3条的结论，得到
$\phi(n)=p_1^{k_1}p_2^{k_2}...p_r^{k_r}(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_r})$
也就等于
$\phi(n)=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_r})$
这就是欧拉函数的通用计算公式。比如，1323的欧拉函数，计算过程如下:
$\phi(1323)=\phi(3^3*7^2)=1323(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{7})=756$

欧拉定理

欧拉函数的用处，在于欧拉定理。”欧拉定理”指的是：

如果两个正整数a和n互质，则n的欧拉函数 $\phi(n)$ 可以让下面的等式成立：
$a^{\phi(n)}\equiv1(mod\ n)$

也就是说，a的$\phi(n)$次方被n除的余数为1。或者说，a的$\phi(n)$次方减去1，可以被n整除。比如，3和7互质，而7的欧拉函数$\phi(7)$等于6，所以3的6次方（729）减去1，可以被7整除（728/7=104）。

欧拉定理的证明比较复杂，这里就省略了。我们只要记住它的结论就行了。

欧拉定理可以大大简化某些运算。比如，7和10互质，根据欧拉定理，

$7^{\phi(10)}\equiv1(mod\ 10)$

已知$\phi(10)=4$，所以马上得到7的4倍数次方的个位数肯定是1。

$7^{4k}\equiv1(mod\ 10)$

欧拉定理有一个特殊情况。

假设正整数a与质数p互质，因为质数p的$\phi(p)$等于p-1，则欧拉定理可以写成:
$a^{p-1}\equiv1(mod\ p)$

这就是著名的费马小定理。它是欧拉定理的特例。

欧拉定理是RSA算法的核心。理解了这个定理，就可以理解RSA。

模反元素

还剩下最后一个概念：

如果两个正整数a和n互质，那么一定可以找到整数b，使得 ab-1 被n整除，或者说ab被n除的余数是1。
$ab\equiv1(mod\ n)$
这时，b就叫做a的“模反元素”。

比如，3和11互质，那么3的模反元素就是4，因为 (3 × 4)-1 可以被11整除。显然，模反元素不止一个， 4加减11的整数倍都是3的模反元素 {…,-18,-7,4,15,26,…}，即如果b是a的模反元素，则 b+kn 都是a的模反元素。

欧拉定理可以用来证明模反元素必然存在。

$a^{\phi(n)}=a*a^{\phi(n)-1}\equiv1(mod\ n)$

可以看到，a的 $\phi(n)-1$ 次方，就是a的模反元素。

好了，需要用到的数学工具，全部介绍完了。RSA算法涉及的数学知识，就是上面这些，下一次我就来介绍公钥和私钥到底是怎么生成的。